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====== Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch ======

Der **Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch** (DHKE) ist ein kryptografisches Verfahren zum **sicheren Austausch eines gemeinsamen Schlüssels** über eine unsichere Verbindung. Es dient als Grundlage für viele verschlüsselte Kommunikationsprotokolle (z. B. HTTPS, SSH, VPNs).

===== Ziel =====
Zwei Parteien (z. B. Alice und Bob) möchten einen **gemeinsamen geheimen Schlüssel** erzeugen – über eine öffentliche Verbindung –, ohne dass ein Angreifer (z. B. Eve) diesen Schlüssel berechnen kann.

===== Grundidee =====
Beide Parteien wählen einen privaten Schlüssel und berechnen daraus einen öffentlichen Schlüssel, den sie austauschen. Mit dem jeweils empfangenen öffentlichen Schlüssel berechnen sie dann denselben geheimen Schlüssel.

===== Mathematische Grundlage =====
  * Es wird eine große Primzahl $p$ und eine Basis $g$ (mit $1 < g < p$) öffentlich vereinbart.
  * Die Berechnungen basieren auf **modularer Exponentiation**: $( a^b \mod  p )$
  * Sicherheit basiert auf dem **diskreten Logarithmusproblem** (schwer zu lösen).

===== Beispielrechnung =====

**Öffentliche Parameter:**
  * Primzahl $( p = 23 )$
  * Basis $( g = 5 )$

**Private Schlüssel:**
  * Alice wählt $( a = 6 )$ (geheim)
  * Bob wählt $( b = 15 )$ (geheim)

**Öffentliche Schlüssel:**
  * Alice berechnet: $( A = g^a \mod p = 5^6 \mod 23 = 8 ) $
  * Bob berechnet: $( B = g^b \mod p = 5^{15} \mod 23 = 19 ) $

**Austausch:**
  * Alice sendet $( A = 8 )$ an Bob
  * Bob sendet $( B = 19 )$ an Alice

**Gemeinsamer geheimer Schlüssel:**
  * Alice berechnet: $( s = B^a \mod p = 19^6 \mod 23 = 2 )$
  * Bob berechnet: $( s = A^b \mod p = 8^{15} \mod 23 = 2 )$

**Ergebnis:**
  * Beide Seiten besitzen nun denselben geheimen Schlüssel: **$( s = 2 )$**

===== Sicherheit =====
Ein Angreifer kennt:
  * $( p, g, A, B )$
Aber nicht:
  * $( a )$ oder $( b )$

Das Berechnen von $( a )$ aus $( A = g^a \mod p )$ ist **mathematisch extrem aufwendig** (diskreter Logarithmus). Deshalb kann der gemeinsame Schlüssel nicht einfach abgeleitet werden.



< a2s >

.--------------------------------------------------------------------.
|[lc]          Diffie-Hellman: Ablaufdiagramm                        |
|                                                                    |
| Alice                      Bob                     Eve (Angreifer) |
|                                                                    |
|  |                          |                          |           |
|  +--- öffentl. p=23, g=5 -->|                          |.          |
|  |                          |.                         |           |
|  | a = 6 (geheim)           |                          |           |
|  | A = g^a mod p = 8        |                          |           |
|  +--- A = 8 --------------->|                          |           |
|  |                          | b = 15 (geheim)          |           |
|  |                          | B = g^b mod p = 19       |           |
|  |<-------------- B = 19 ---+                          |           |
|  |                          |                          |           |
|  | s = B^a mod p = 2        |                          |           |
|  |                          | s = A^b mod p = 2        |           |
|  |                          |                          |           |
|  +----> Gemeinsamer geheimer Schlüssel s = 2 <---------+           |
|  |                          |                          |           |
|  |                          |                          |           |
|  |   Eve kennt nur p, g, A, B —> kein Zugriff auf s)   |           |
|                                                                    |
'--------------------------------------------------------------------'
[lc]: {"fill":"LemonChiffon","a2s:delref":true}
</a2s>

<WRAP center round info 80%>
**Hinweis:**  
Obwohl alle übertragenen Werte ($p$, $g$, $A$, $B$) öffentlich sind, ist der geheime Schlüssel $s$ sicher,
 **solange $a$ oder $b$ geheim bleiben**.  
Die Sicherheit beruht auf der Schwierigkeit des diskreten Logarithmusproblems.
</WRAP>


===== Anwendungsbeispiele =====
  * TLS / HTTPS (z. B. in Browsern)
  * SSH
  * IPsec VPNs
  * PGP/GnuPG
  * Signal, WhatsApp, Matrix

===== Schwächen & Schutzmaßnahmen =====
  * **Nicht authentifiziert**: Anfällig für "Man-in-the-Middle"-Angriffe.
  * Lösung: Kombinieren mit Zertifikaten oder digitalen Signaturen.

===== Varianten =====
  * **ECDH**: Elliptic Curve Diffie-Hellman – gleiche Idee, effizienter, moderner.
  * **DHE-RSA**: Authentifizierte Variante mit RSA-Zertifikaten.

===== Zusammenfassung =====
^ Schritt ^ Beschreibung ^
| 1 | Öffentliche Werte wählen $(p \ ,\ g)$ |
| 2 | Jeder wählt geheimen Exponenten $a$, $b$ |
| 3 | Öffentliche Schlüssel berechnen: $A = g^a mod p$, $B = g^b mod p$ |
| 4 | Schlüssel austauschen |
| 5 | Gemeinsamen Schlüssel berechnen: $s = B^a mod p$ = $A^b mod p$ |
| ✅ | Beide Seiten besitzen denselben geheimen Schlüssel |


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